Leonardo und die Mathematik

Auf einen Blick

• ThemaLeonardo und die Mathematik
• Künstler und KontextLeonardo da Vinci (1452–1519) und die Renaissance
• AbbildungLeonardos offenes Rhombikuboktaeder für *De divina proportione*

Inhalt

1. Zahlen lernen in einer Handelsstadt
2. Geometrie vor Pacioli
3. Luca Pacioli in Mailand
4. Körper zeichnen, damit man sie versteht
5. Was die „göttliche Proportion“ bedeutete
6. Zahl, Maß und Arbeitsdiagramm
7. Eine späte „Manie“ der Umformung
8. Beweis, Irrtum und bildliches Denken

Zahlen lernen in einer Handelsstadt

Leonardo wurde 1452 als uneheliches Kind einer Notarsfamilie geboren. Das versperrte ihm den üblichen Universitätsweg mit seiner dauerhaften Lateinausbildung, schloss ihn aber nicht von Bildung aus. In Florenz gab es eine dichte Kultur volkssprachlichen Unterrichts. Die Abakusschulen lehrten die Arithmetik, die Kaufleute und Handwerker brauchten: Rechnen mit ganzen Zahlen und Brüchen, Währungen und Wechsel, Gewichte und Maße, Gesellschaften, Zinsen sowie praktische Geometrieaufgaben. Das Museo Galileo verbindet den jungen Leonardo mit diesem Umfeld und einer Abakusausbildung, wie sie zum Enkel eines Kaufmanns passte ^[1].

Der Unterschied zu universitärer Bildung ist wesentlich. Abakusmathematik war nicht im heutigen Sinn belanglos oder bloß elementar. Der Florentiner Handel verlangte Rechnungen zwischen unvereinbaren Münzen und Maßen; Bauwesen, Landteilung und Herstellung erforderten verlässliche Vermessung. Aufgaben wurden gewöhnlich als konkrete Situationen formuliert und anhand ausgearbeiteter Beispiele gelöst. Solche Gewohnheiten lagen Leonardo. Seine späteren Blätter gehen immer wieder von einem Fall zu Varianten über und prüfen ein Verfahren durch Änderungen von Maßen, Lasten oder Formen.

Die Lehrzeit in Andrea del Verrocchios Werkstatt fügte eine weitere mathematische Kultur hinzu. Ein Maler musste einen Entwurf vergrößern, glaubhafte Raumtiefe herstellen, Umrisse übertragen, Material berechnen und Figuren auf einer Fläche anordnen. Bildhauer und Metallhandwerker arbeiteten mit Maßstab, Volumen, Formen, Gewicht und Gleichgewicht. Diese Verfahren waren selten vom Herstellen getrennt. Geometrie steckte im Lineal, Zirkel, Lot, Raster und in der proportionalen Übertragung ebenso wie in Büchern.

Leonardo nannte sich später omo sanza lettere, einen „Mann ohne gelehrte Bildung“. Der Ausdruck wird häufig zu einem Bild nahezu völliger Unbildung verzerrt. In der Renaissance bezeichneten die „Buchstaben“, die ihm fehlten, vor allem die klassischen Sprachen und jene Bildung, die Gelehrten direkten Zugang zu lateinischen Autoritäten gab. Die Untersuchung seiner Bibliothek durch das Museo Galileo zeigt eine viel interessantere Lage. Leonardo sammelte Bücher, schrieb Stellen heraus, suchte Hilfe bei Fachwörtern und prüfte geschriebene Behauptungen an der Beobachtung. Zur Zeit des Codex Leicester hatte er Zugriff auf ein beträchtliches Spektrum antiken, mittelalterlichen und zeitgenössischen Denkens. Was er nie ganz erwarb, waren Leichtigkeit im Lateinischen und die institutionelle Ausbildung eines universitären Naturphilosophen ^[2].

Diese Stellung schuf Schwierigkeiten und Freiheiten zugleich. Leonardo konnte sich nicht einfach in jede gelehrte Debatte zu deren festgelegten Bedingungen einschalten. Er musste übersetzen, umschreiben und rekonstruieren. Gleichzeitig fragte er gewöhnlich, wie ein Satz aussehen, wie er gebaut werden und ob er mit Erfahrung übereinstimmen könnte. Seine mathematische Bildung wuchs Schritt für Schritt, nicht durch ein Wunder: zuerst praktische Arithmetik, dann zunehmend ehrgeizige Begegnungen mit Geometrie, Proportion und Beweis.

Geometrie vor Pacioli

Als Leonardo Anfang der 1480er-Jahre nach Mailand ging, diente Geometrie schon vielen Teilen seiner Arbeit. Die Zentralperspektive behandelte die Bildfläche als Schnitt durch eine Sehpyramide. Proportionale Vergrößerung verband eine kleine Zeichnung mit einer Wand, Tafel oder einem Skulpturenmodell. Im Ingenieurwesen mussten Räder, Hebel, Seile und Lasten verglichen werden. Vermessung überführte Entfernungen und Richtungen in Pläne. Architektur verlangte die Abstimmung von Grundriss, Aufriss und Schnitt.

Die Notizbücher zeigen, wie Leonardo je nach Frage verschiedene Projektionen nutzte. Ein Grundriss zeigt Anordnung ohne verdeckende Wände; ein Schnitt legt frei, was eine Oberfläche verbirgt; eine axonometrische Ansicht hält parallele Beziehungen lesbar und deutet zugleich dreidimensionale Gestalt an. Schnitt- und Durchsichtsbilder lassen Bewegungen im Inneren einer Maschine verfolgen. Das Museo Nazionale Scienza e Tecnologia betont, dass Zeichnen für Leonardo sowohl Forschungs- als auch Kommunikationsmittel war. Mathematische Darstellung hielt nicht bloß eine anderswo gewonnene Idee fest. Sie half, die Idee hervorzubringen, indem sie Teile in eine schlüssige räumliche Beziehung zwang ^[3].

Mailand verstärkte diese Arbeit. Am Hof Ludovico Sforzas trafen Künstler, Ingenieure, Ärzte und gelehrte Berater aufeinander. Leonardo arbeitete an Architektur, Festen, Wasserbauplänen und dem riesigen Reiterdenkmal für Francesco Sforza. Jedes Vorhaben stellte Fragen nach Maßstab und Umformung. Ein kleines Modell musste zum kolossalen Objekt werden; eine an einem Punkt eingesetzte Kraft wirkte anderswo; ein Zentralbau musste durch wiederkehrende geometrische Einheiten geordnet bleiben.

Dennoch machte Leonardos frühe geometrische Praxis ihn nicht zu einem vollständig in formaler Mathematik bewanderten Gelehrten. Eine im Diagramm überzeugende Konstruktion konnte ohne Beweis bleiben. Ähnlichkeit, Verhältnis und Fläche ließen sich praktisch erfassen, während ihre euklidischen Grundlagen unvollständig verstanden waren. Sein späterer Hunger nach mathematischen Büchern zeigt sein Bewusstsein für diese Lücke. 1495 notierte er den Kauf von Paciolis umfangreicher gedruckter Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità für 119 Soldi. Die im Vorjahr in Venedig erschienene Summa vereinte Arithmetik, Algebra, Handelspraxis und Geometrie in der italienischen Abakustradition. Der Kauf belegt Leonardos bewusste Beschäftigung mit einem bedeutenden mathematischen Kompendium vor der dokumentierten Zusammenarbeit mit dessen Autor ^[4].

Die Summa verhindert auch eine falsche Trennung zwischen dem „praktischen“ und dem „theoretischen“ Leonardo. Ihre umfangreiche Darstellung von Arithmetik und Handelsrechnung stand neben Geometrie und Proportion. In der Kultur, aus der Pacioli und Leonardo kamen, konnte eine Regel von der Rechnung eines Kaufmanns zur Vermessung oder zum geometrischen Satz wandern. Leonardos Notizbücher mischen ebenfalls Zahlenspalten, Textaufgaben, Skizzen und Konstruktionen. Er ließ die praktische Mathematik nicht hinter sich, als er sich Euklid zuwandte. Er suchte festere Grundlagen für bereits verwendete Verfahren und wollte sie auf Probleme ausdehnen, die sich nicht allein durch Werkstatterfahrung lösen ließen.

Proportion eignete sich besonders für diesen Übergang. Sie bedeutete nicht eine einzige gefällige Form oder eine bevorzugte Zahl, sondern eine Beziehung zwischen Größen: eine Länge gegenüber einer anderen, ein kleines Modell gegenüber einem großen Objekt, die Zähne eines Rades gegenüber denen des nächsten. In der Kunst konnte Proportion Körper und Bauten ordnen; in der Mechanik konnte sie den durch eine Anordnung gewonnenen Weg oder die gewonnene Kraft ausdrücken. Mit einer formaleren Sprache der Verhältnisse erkannte Leonardo gemeinsame Strukturen über getrennte Handwerke hinweg.

Luca Pacioli in Mailand

Luca Pacioli kam 1496 nach Mailand und lehrte unter der Schirmherrschaft der Sforza an den Scuole Palatine. Als Franziskaner mit Ausbildung in der Abakustradition konnte er zwischen Handelsrechnung, euklidischer Geometrie und höfischer Diskussion wechseln. Leonardo brachte andere Stärken ein: außergewöhnliche räumliche Vorstellungskraft, Beherrschung der Perspektive und die Fähigkeit, komplexe Strukturen durch Bilder verständlich zu machen. Ihre Verbindung war ein Austausch zwischen zwei erfahrenen Praktikern, keine einfache Lektion, in der ein Gelehrter einem unwissenden Künstler mathematische Wahrheit übergab ^[5].

Leonardos Studium ist in den Notizbüchern belegt. Er kopierte Definitionen und Proportionsschemata und erinnerte sich daran, mathematische Verfahren von „maestro Luca“ zu lernen. Pacioli wiederum schrieb Leonardo die Figuren für seine Abhandlung De divina proportione zu. Die Zusammenarbeit fiel mit einer deutlichen Erweiterung von Leonardos mathematischem Wortschatz und Anspruch zusammen. Ihn beschäftigten nun stärker die Geltung von Beweisen, die Einteilung von Körpern und die Möglichkeit, dass Geometrie Untersuchungen von Natur und Kunst Gewissheit geben könne ^{[4] [6]}.

Pacioli vollendete De divina proportione 1498 in Mailand. Zwei zu seinen Lebzeiten angefertigte Handschriften sind erhalten. Die heute in der Bibliothèque de Genève bewahrte Präsentationshandschrift Ms. l.e. 210 wurde für Ludovico Sforza vorbereitet. Dem Text folgen sechzig Polyederdarstellungen in geschlossenen und offenen Formen, die mit Leonardos Entwürfen verbunden sind. Pergamentblätter, sorgfältige Schrift und Widmung verorten die geometrische Zusammenarbeit in der politischen Kultur des Mailänder Hofes ebenso wie in der Geschichte der Mathematik ^[7].

Mit dem fertigen Buch endete die Partnerschaft nicht einfach. Als französische Truppen Ludovico 1499 verdrängten, verließen Pacioli und Leonardo Mailand. Ihre Wege überschnitten sich weiterhin, und der geistige Austausch dauerte an. Die Divina proportione erschien 1509 in Venedig bei Paganinus de Paganinis im Druck. Das Metropolitan Museum of Art katalogisiert die gedruckten Bilder als „nach Leonardo da Vinci“. Diese Formulierung wahrt eine wichtige Unterscheidung: Leonardo lieferte Entwürfe für die geometrischen Figuren; die erhaltenen Druckstöcke und Abzüge sind jedoch Übertragungen in ein anderes Medium, keine von ihm selbst gezeichneten und geschnittenen Blätter ^[8].

Derselbe venezianische Verleger brachte 1509 Paciolis überarbeitete lateinische Ausgabe von Euklids Elementen heraus. Das Vorwort erkennt Leonardos Beitrag zur Auslegung des Textes an. Damit ist belegt, dass der mathematische Austausch über die Mailänder Vorbereitung der Polyeder hinaus bis in ihre späteren Florentiner Kontakte fortdauerte ^[13]. Pacioli half Leonardo durch volkssprachliche Erklärungen an Euklid heran; Leonardos Fragen und räumliche Vorführungen konnten umgekehrt prüfen, was die Sätze bedeuteten. Die Zusammenarbeit war nachhaltiger als ein einzelner Illustrationsauftrag.

Das Druckjahr kann sonst eine falsche Chronologie erzeugen. Leonardos Entwürfe gehören zum 1498 abgeschlossenen Handschriftenprojekt, während Holzschnitte und Euklid-Ausgabe erst elf Jahre später erschienen. Dazwischen erlebten die Mitarbeiter politische Vertreibung und Ortswechsel. Die Bücher bewahren das Ergebnis eines Austauschs, dessen Arbeitssitzungen, Zeichnungen und Erklärungen nur teilweise rekonstruierbar sind.

Körper zeichnen, damit man sie versteht

Die Polyeder sind das deutlichste Ergebnis der Zusammenarbeit, weil ihr gedanklicher Inhalt von ihrer Darstellung abhängt. Die übliche Ansicht eines Körpers zeigt dem Betrachter zugewandte Flächen und verbirgt die Rückseite. Um einen Würfel zu erkennen, mag das genügen; bei einem Körper mit vielen Flächen und überschneidenden Beziehungen wird es hinderlich. Leonardos offene, als vacuo bezeichnete Fassungen machen die Kanten zum Gerüst. Durch die Zwischenräume bleiben die hinteren Kanten sichtbar. Der Betrachter kann den ganzen Aufbau prüfen, statt eine unsichtbare Hälfte zu erschließen.

Geschlossene und offene Formen beantworten verschiedene Fragen. Der gefüllte Körper zeigt zusammenhängende Flächen und Gesamtmasse. Sein skelettartiges Gegenstück legt Verbindungen, Symmetrien und die Wege offen, auf denen Flächen zusammentreffen. Manche Figuren sind „erhöht“: Pyramiden ragen aus ihren Flächen heraus und vervielfachen das räumliche Problem. Perspektive lässt diese Körper in die Tiefe reichen, doch die Zeichnung muss genügend Regelmäßigkeit erhalten, damit das geometrische Objekt lesbar bleibt ^{[3] [7]}.

Leonardo erfand weder die regelmäßigen noch die halbregelmäßigen Körper. Ihre Erforschung gehörte zu einer langen Tradition von Euklid und anderen antiken Autoren; Pacioli schöpfte stark aus früherer Mathematik, darunter dem Werk Piero della Francescas. Leonardos Leistung lag in der Darstellung. Er machte aus verbalen und geometrischen Beschreibungen Bilder, in denen Leser den Aufbau erfassen konnten. Die offenen Polyeder wirken fast wie bildliche Argumente: Sie zeigen Informationen, die ein undurchsichtiger Körper verbergen würde.

Pieros Rolle verlangt Genauigkeit. Die gedruckte Divina proportione ist kein durchgehendes Buch über ein einziges Verhältnis. Sie verbindet Paciolis Ausführungen zur göttlichen Proportion mit einer architektonischen Abhandlung und einer italienischen Fassung von Pieros Libellus de quinque corporibus regularibus, einer Untersuchung der fünf regelmäßigen Körper und daraus abgeleiteter Formen ^[14]. Vasari warf Pacioli später vor, sich Pieros Arbeit angeeignet zu haben; Ausmaß und ethische Bewertung dieser Übernahme bleiben Gegenstand der Forschung. Für Leonardos Mathematik ist der sichere Schluss strukturell: Die berühmten Bilder stehen in einer vielschichtigen Textüberlieferung, nicht nur im abgeschlossenen Gespräch zweier Männer. Pieros Körperlehre, Euklids Definitionen, Paciolis Zusammenstellung und Leonardos Visualisierung treffen im erhaltenen Band aufeinander.

Deshalb gehören die Illustrationen ins Zentrum von Leonardos Mathematik und nicht als Schmuck an ihren Rand. Ihre Schönheit entsteht aus Genauigkeit, Auswahl und Verständlichkeit. Ein gelungenes Bild muss entscheiden, welche Linien sichtbar sind, wie Kanten sich kreuzen, wie Tiefe angezeigt wird und wie der Körper die Seite einnimmt. Der mathematische Körper und seine grafische Erklärung werden untrennbar.

Die Zeichnungen zeigen auch ein allgemeineres Prinzip in Leonardos Arbeit. Regelmäßig entfernt er eine äußere Oberfläche, um Ursachen freizulegen: Haut öffnet sich und zeigt Anatomie; die Erde wird im Schnitt dargestellt, damit Wasserläufe sichtbar werden; Wände verschwinden und geben Räume frei; Maschinengehäuse werden durchsichtig, sodass Zahnräder verfolgt werden können. Die Polyedergerüste sind ein besonders strenges Beispiel für diesen forschenden Blick. Eine Form zu kennen heißt, die Beziehungen ihrer Teile zu sehen, auch der normalerweise verborgenen.

Ihre Herstellung erforderte zudem eine Übertragung zwischen Wissensarten. Eine geometrische Definition benennt Beziehungen, die unabhängig vom Blickpunkt gelten; eine perspektivische Zeichnung zeigt eine Ansicht von einem bestimmten Standort. Leonardo musste das Erste bewahren und dabei das Zweite herstellen. Zu viel optischer Realismus konnte die Regelmäßigkeit verdecken; eine flache Zeichnung konnte den Körper nicht vermitteln. Die Bilder vermitteln zwischen Beweis, Modell und Bild. Sie ersetzen Paciolis Text nicht, erlauben dem Leser aber ein gedankliches Drehen und Vergleichen, das mit Worten allein mühsam wäre.

Die Genfer Handschrift verstärkt diese Verbindung durch ihre Abfolge. Sechzig geschlossene oder offene Körper folgen auf die schriftliche Abhandlung und bilden eine Bildsammlung, die über einzelne Sätze hinweg benutzt werden kann. Die Zeichnungen ergeben ein visuelles Vokabular der Körpergeometrie. Ihre Wirkung beruht zum Teil auf dieser Serie: Sie zeigt kein isoliertes Schaustück, sondern eine wiederholbare Methode an Körpern wachsender Komplexität ^[7].

Was die „göttliche Proportion“ bedeutete

Der Titel Divina proportione hat über Jahrhunderte zu ungenauen Verbindungen eingeladen. Paciolis „göttliche Proportion“ war die Teilung einer Strecke im mittleren und äußeren Verhältnis, später weithin als Goldener Schnitt bekannt: Das Ganze verhält sich zum größeren Teil wie dieser zum kleineren. In moderner Schreibweise beträgt das Verhältnis ungefähr 1,618 zu 1. Pacioli betrachtete es als mathematisch bemerkenswert und verband es mit theologischen Analogien. Die Abhandlung reichte außerdem über regelmäßige Körper, proportionale Beziehungen und Anwendungen in Kunst und Architektur ^{[5] [7]}.

Dieses belegte Interesse zeigt nicht, dass Leonardo jedes bedeutende Bild um dieselbe Zahl herum organisierte. Es ist ein großer Unterschied, eine Abhandlung über ein Verhältnis zu illustrieren oder dieses Verhältnis als verborgene universelle Schablone zu verwenden. Eine überzeugende Behauptung zu einem Gemälde müsste zeigen, dass die maßgeblichen Punkte im Voraus gewählt wurden, die Messungen stabil sind und ein einfacheres Proportionssystem nicht ebenso gut passt. In einer Reproduktion lassen sich nachträglich oft beliebige Rechtecke finden, besonders wenn Ausschnitt und Bildmaße variieren.

Historiker der Mathematik haben gezeigt, wie häufig Erzählungen über den Goldenen Schnitt auf rückblickenden Messungen statt auf Dokumenten oder nachweisbaren Konstruktionen beruhen. Leonardo und Pacioli kannten das mittlere und äußere Verhältnis zweifellos. Dadurch sind einzelne belegte Anwendungen möglich, aber nicht jede ansprechende Proportion „golden“. Auch Pacioli erfand die Beziehung nicht; ihre geometrische Geschichte ist viel älter. Der Ausdruck „göttliche Proportion“ gehört zu seiner philosophischen und religiösen Darstellung ^[9].

Dieselbe Vorsicht gilt für Behauptungen zu Leonardos Körperstudien. Der Vitruvianische Mensch ist eine Untersuchung der Vergleichbarkeit von Maßen: Ein menschlicher Körper nimmt überlagerte Stellungen in Kreis und Quadrat ein, während Notizen Körperteile zum Ganzen ins Verhältnis setzen. Die Gallerie dell’Accademia betonen, dass die Proportionen nicht nur eine mechanische Abschrift Vitruvs sind und dass Leonardos Untersuchung auch mit Renaissancearbeiten wie Leon Battista Albertis De statua zusammenhängt. Die Zeichnung verbindet Textauslegung, Beobachtung und geometrische Konstruktion ^[10].

Sie ist aber kein als solcher bezeichneter Goldener-Schnitt-Plan. Veröffentlichte Messungen, die Phi in ausgewählten Abständen suchen, wiegen weniger als die von Leonardo tatsächlich notierten Verhältnisse und die vitruvianische wie albertische Frage, die er bearbeitete. Ihre gedankliche Kraft liegt woanders: Sie prüft, ob ideale geometrische Figuren und der wandelbare, gegliederte menschliche Körper in ein schlüssiges System gebracht werden können. Die Mittelpunkte von Kreis und Quadrat fallen nicht einfach zusammen, und die veränderte Stellung der Gliedmaßen ist wesentlich. Leonardo macht Proportion beweglich.

Zahl, Maß und Arbeitsdiagramm

Leonardos reife Notizbücher trennen Mathematik nicht von Praxis. Sie verwenden geometrische Beziehungen zur Untersuchung von Maschinen, Bauten, Landschaften und Körpern. Dieselben Gewohnheiten kehren wieder: eine komplexe Handlung in Schritte zerlegen, unsichtbare Beziehungen darstellen, Varianten vergleichen und die Folgen einer Änderung messen.

In der Mechanik wandeln Rad, Achse, Rolle oder Hebel eine Bewegung oder Kraft in eine andere um. Geometrie bestimmt die Abstände zwischen Drehpunkten, Raddurchmesser und Zugrichtung. Ein Verhältnis verbindet die Bewegung eines antreibenden mit der eines angetriebenen Teils. Leonardo hatte bisweilen Mühe, ideale mechanische Beziehungen von Verlusten durch Reibung, Verformung und unvollkommene Materialien zu unterscheiden. Seine Diagramme versuchen aber, eine Ursachenkette prüfbar zu machen. Pfeile, wiederholte Stellungen und durchsichtige Baugruppen machen Bewegung zu einer Folge, über die sich nachdenken lässt ^[3].

Fragen des Gleichgewichts führten selbstverständlich zu Schwerpunkten. Verschiebt sich eine Last oder ein Stützpunkt, ändert sich die Stabilität eines Gegenstands. Solche Fragen verbanden theoretische Geometrie mit Kränen, Waffen, Brücken, menschlicher Bewegung und dem geplanten Guss eines riesigen Pferdes. Leonardo stellte häufig mehrere Fälle nebeneinander und machte Unterschiede sichtbar. Die Seite wird zum Versuchsfeld, auf dem eine Variable verändert werden kann, ohne eine Maschine in voller Größe zu bauen.

Architektur verlangte verwandte Verfahren. Grundrisse ordnen Räume mit Achsen, Drehungen und wiederholten Modulen. Aufrisse regeln vertikale Proportionen; Schnitte legen Stärke, Tragwerk und Wege offen. Bei Studien zu Zentralbauten kombinierte Leonardo Quadrate, Kreise, Achtecke und Nebenkapellen zu immer komplexeren Anordnungen. Diese Entwürfe werden in ihrem eigenen Zusammenhang ausführlicher behandelt; mathematisch zeigen sie Geometrie als Werkzeug der Erfindung. Eine Grundfigur wird nicht bloß kopiert, sondern geteilt, gedreht, erweitert und kombiniert. Daraus entsteht eine Familie möglicher Grundrisse.

Vermessung und Kartografie wandelten durchquertes Gelände in messbare Information um. Richtung, Entfernung und Maßstab mussten auf eine Fläche übertragen werden. Leonardos berühmte Imola-Karte wird an anderer Stelle behandelt, doch ihre Leistung beruht auf dieser mathematischen Disziplin: Die Stadt erscheint in einer einheitlichen Aufsicht statt als Folge von Wegmarken eines Reisenden. Wasserbauprojekte verlangten ebenso Gefälle, Höhen, Schnitte und Schätzungen des Durchflusses. Die mathematische Zeichnung machte entfernte Teile eines Systems gleichzeitig denkbar.

Perspektive bildete eine weitere Brücke zwischen Kunst und Messung. Leonardo übernahm eine mächtige Theorie des 15. Jahrhunderts; er erfand sie nicht. Er erweiterte ihre praktische Anwendung durch genaue Aufmerksamkeit für Seheffekte: scheinbare Größe, Verkleinerung, Verlust von Klarheit und Farbe mit der Entfernung, Spiegelung und die Geometrie des Lichts. Nicht alle diese Phänomene lassen sich auf Zentralperspektive reduzieren. Leonardos Leistung bestand darin zu erkennen, dass bildliche Wahrheit mehrere ineinandergreifende Arten von Beziehung braucht. Geometrie gab eine geordnete Grundlage; Beobachtung zeigte, wo ein einfaches Schema nicht reichte.

So wird verständlich, warum Zahlen in den Notizbüchern zugleich unentbehrlich und instabil sein können. Leonardo rechnete, tabellierte und kommentierte, revidierte aber auch. Einheiten wechselten; abgeschriebene Ergebnisse konnten Fehler enthalten; geometrische Einsicht konnte dem Beweis vorausgehen. Die Notizbücher zeigen Arbeit in Bewegung statt eines fertig polierten Lehrbuchs. Ihr Wert liegt zum Teil in diesem offengelegten Denken: Rechnung, Zeichnung und sprachliche Erklärung korrigieren und befördern einander.

Eine späte „Manie“ der Umformung

In seinen letzten Lebensjahren widmete Leonardo einer begrenzten Familie geometrischer Probleme ungewöhnlich viel Energie: Eine ebene Figur sollte in eine andere mit gleichem Flächeninhalt umgewandelt werden. Geradlinige Formen wurden krummlinig und zurück verwandelt. Kreise, Halbkreise, Rechtecke, Dreiecke und sichelförmige Möndchen wurden in langen Reihen geteilt und neu zusammengesetzt. Das Vorhaben schöpfte aus antiken Quadraturproblemen, darunter den mit Hippokrates von Chios verbundenen Möndchen, doch Leonardo verfolgte es in seinen eigenen zahlreichen Bildvarianten ^[11].

Quadratur gehörte zu einer größeren Familie klassischer Konstruktionsaufgaben. Um 1505 versuchte Leonardo auch die Würfelverdoppelung — einen Würfel mit dem doppelten Volumen eines gegebenen Würfels zu konstruieren — und erprobte geometrische Konstruktionen für Quadratwurzeln. Eine Forschungspräsentation des Louvre bezeichnet Codex Atlanticus 428r als Blatt, auf dem er den Satz des Pythagoras von Flächen auf Volumen übertragen wollte ^[15]. Auch wenn das misslingt, ist der Schritt aufschlussreich: Ein gültiges Verhältnis zwischen Quadraten lässt sich ohne neuen Beweis nicht einfach in drei Dimensionen übertragen. Leonardo prüfte immer wieder, ob eine sichtbar funktionierende Operation eines Bereichs in einem anderen bestehen würde.

Codex Atlanticus Blatt 455r, etwa 1514–1515 datiert, ist das spektakulärste erhaltene Blatt. Seine heutige Foliierung verlangt Aufmerksamkeit: Die Katalog-URL von Leonardo//thek@ enthält die Kennung ATL.0909.1, die gelegentlich fälschlich für Folio 909 gehalten wird. Der Eintrag selbst bezeichnet das Blatt als 455r, früher Hoepli 167r-a/b und mit älteren Nummern 149–150 versehen. Leonardo ordnete darauf etwa 177 Konstruktionen an — Fachzählungen unterscheiden sich je nach Abgrenzung der Gruppen um eins —, meist aus Kreisen und Halbkreisen ^{[11] [12]}.

Schraffuren kennzeichnen Teile, die entfernt, behalten oder versetzt werden sollen. Eine Kurve wird Bestandteil einer neuen Figur; wiederholte Unterteilungen stellen gleiche Flächen her; kleine Änderungen erzeugen weitere Fälle. Die dicht gefüllte Seite ist systematisch, ohne ein herkömmlicher Beweis zu sein. Ihr bildlicher Rhythmus hat die Bezeichnung mania geometrica angeregt: eine geometrische Besessenheit, in der sich analytische Arbeit und ästhetische Ordnung kaum trennen lassen ^[12].

Es ging nicht bloß um Ziermuster. Leonardo suchte allgemeine Verfahren, krummlinige und geradlinige Flächen bei gleichem Flächeninhalt ineinander zu überführen. Er plante ein Werk namens De ludo geometrico, ein „geometrisches Spiel“, und verband Codex Atlanticus Blatt 272v mit unzähligen Varianten der Quadratur gekrümmter Flächen. Der Titel gesteht Vergnügen und Spiel zu, doch die wiederholten Diagramme suchen auch Beherrschung: Wenn sich genug Transformationen einordnen ließen, könnte vielleicht eine schwierige stetige Form auf bekannte geradlinige Flächen zurückgeführt werden ^[11].

So näherte sich Leonardo dem antiken Problem der Quadratur des Kreises: Mit vorgegebenen geometrischen Mitteln soll ein Quadrat mit genau derselben Fläche wie ein gegebener Kreis konstruiert werden. Er löste es nicht. Die Unmöglichkeit der klassischen Konstruktion mit Zirkel und Lineal wurde erst im 19. Jahrhundert bewiesen, nachdem die Transzendenz von Pi feststand. Leonardo konnte diesen Beweis nicht kennen, doch seine einzelnen Konstruktionen mussten die zu seiner Zeit verfügbaren Maßstäbe erfüllen. Bildliche Gleichwertigkeit oder ein Näherungsverfahren waren kein exakter Beweis.

Seine Ausdauer zeigt dennoch eine reife mathematische Identität. Die späten Blätter sind keine beiläufigen Rechnungen für Gemälde oder Maschinen. Sie untersuchen geometrische Größen aus eigenem Interesse und wegen des gedanklichen Versprechens der Umformung. Leonardo behandelt Geometrie wie Bewegung: Figuren entfalten, verschieben und fügen sich neu zusammen, während die Fläche gleich bleibt. Diese Denkweise verbindet sich mit seinen technischen und anatomischen Diagrammen, auch wenn der unmittelbare Gegenstand abstrakt ist.

Beweis, Irrtum und bildliches Denken

Leonardo verband Gewissheit wiederholt mit Mathematik. Für einen Forscher, den überlieferte Autorität nicht zufriedenstellte, bot geometrischer Beweis ein Ideal: ein Schluss, den vorführbare Beziehungen erzwingen. Doch sein eigener Weg zu diesem Ideal verlief ungleichmäßig. Zu einem großen Teil lateinischer Gelehrsamkeit hatte er früh keinen Zugang; fortgeschrittene Themen lernte er vergleichsweise spät, und er unterschied nicht immer ein überzeugendes Diagramm von einem vollständigen Beweis. Seine Handschriften enthalten Fehlstarts und Irrtümer neben erstaunlichen Einsichten ^{[2] [6]}.

Diese Grenzen zu benennen schmälert die Arbeit nicht. Es verortet Leonardo in den mathematischen Welten, die er tatsächlich bewohnte. Als in einer Werkstatt ausgebildeter Künstler und Ingenieur erschloss er gelehrte Geometrie über volkssprachliche Bücher, Zusammenarbeit und selbstbestimmtes Studium. Pacioli gab ihm Zugang zu einer formelleren Sprache der Proportionen und euklidischen Körper. Leonardo verlieh geometrischen Ideen eine außergewöhnliche sichtbare Gestalt. Jeder trug etwas bei, das der andere nicht auf dieselbe Weise bieten konnte.

„Bildlich“ bedeutet auch nicht ungenau oder bloß intuitiv. Leonardos beste Diagramme wählen Blickpunkte, entfernen Hindernisse und koordinieren mehrere Zustände mit großer Genauigkeit. Offene Polyeder legen verborgene Kanten frei. Maschinenzeichnungen zeigen die Übertragung durch einen Aufbau. Pläne und Schnitte halten räumliche Beziehungen zum Vergleich fest. Transformationsblätter bewahren die Fläche, während die Form wechselt. Zeichnen wird zum Werkzeug, ein Problem herauszulösen und einem anderen Geist mitzuteilen.

Seine Mathematik lässt sich daher am besten als Praxis des Beziehungssehens verstehen. Proportion verbindet Teil und Ganzes; Perspektive verbindet Gegenstand, Entfernung und Betrachter; Mechanik verbindet Kraft, Bewegung und Zeit; Kartografie verbindet Gelände und Maßstab; Quadratur verbindet ungleiche Formen durch gleichen Flächeninhalt. Die Themen wechseln, doch die geistige Tätigkeit ist verwandt. Leonardo sucht nach einer unveränderlichen Beziehung unter sichtbarem Wandel.

Daraus entstand nie eine einheitliche mathematische Abhandlung. Projekte blieben unvollendet, Fachwörter wechselten, und Beweisführungen erreichten oft nicht die gelehrten Maßstäbe seiner Zeit. Die Notizbücher widerstehen der rückblickenden Fantasie einer modernen Disziplin, die sich vollständig in einem einzigen außergewöhnlichen Geist gebildet hätte. Sie bieten etwas historisch Reichhaltigeres: das Zeugnis eines Künstler-Ingenieurs, der Mathematik zu einem Kern seiner Forschung machte, bestehende Traditionen aufnahm und zugleich veränderte, wie geometrisches Wissen gesehen werden konnte.

Die Zusammenarbeit mit Pacioli steht im Zentrum dieser Geschichte, aber weder an ihrem Anfang noch an ihrem Ende. Praktisches Rechnen und Werkstattgeometrie bereiteten Leonardo darauf vor, den Wert formaler Mathematik zu erkennen. Die Polyeder zeigten, was seine grafische Begabung dazu beitragen konnte. Die späten Umformungen machen deutlich, wie vollständig geometrische Fragen ihn beschäftigen konnten, als unmittelbare Aufträge zurücktraten. Dazwischen wurde Mathematik zu einem seiner wichtigsten Mittel, Kunst, Maschinen, Bauten, Körper und Natur miteinander zu verbinden.

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• Leonardos anatomische Studien
• Karte von Imola

Häufig gestellte Fragen

Quellen

1. Museo Galileo, „A scuola d’abaco“, La Biblioteca di Leonardo. Quelle öffnen
2. Museo Galileo, „Omo sanza lettere?“, Leonardo e i suoi libri: la biblioteca del genio universale. Quelle öffnen
3. Museo Nazionale Scienza e Tecnologia Leonardo da Vinci, Führer zu den Gallerie Leonardo. Quelle öffnen
4. Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte, Leonardo’s Intellectual Cosmos, Eintrag zu Luca Paciolis Summa de arithmetica. Quelle öffnen
5. Treccani, „Luca Pacioli“, Il Contributo italiano alla storia del Pensiero – Scienze. Quelle öffnen
6. Stephen R. Wassell, „Leonardo da Vinci und Luca Pacioli: eine Zusammenarbeit von Kunst und Mathematik“, British Society for the History of Mathematics Bulletin. Quelle öffnen
7. Bibliothèque de Genève, Ms. l.e. 210, Luca Pacioli, De divina proportione. Quelle öffnen
8. Metropolitan Museum of Art, Luca Pacioli, Divina proportione, 1509, Zugangsnummer 19.50. Quelle öffnen
9. Farhad B. Naini, „Der Goldene Schnitt: einen Mythos entkräften“, Maxillofacial Plastic and Reconstructive Surgery 46 (2024), Artikel 2. Quelle öffnen
10. Gallerie dell’Accademia Venedig, „Studio di proporzioni del corpo, noto come Uomo vitruviano“, Katalog 228. Quelle öffnen
11. Museo Galileo, Leonardo//thek@, Codex Atlanticus Blatt 455r, Katalogkennung ATL.0909.1. Quelle öffnen
12. Francesca Borgo, „Mania geometrica: Leonardos Bildversuche mit Form und Umwandlung“, Forschungsrepositorium der University of St Andrews. Quelle öffnen
13. Museo Galileo, „The Partnership with Luca Pacioli“, Leonardo’s Library. Quelle öffnen
14. Paola Magnaghi-Delfino und Tullia Norando, „Luca Pacioli: Briefe aus Venedig“, Forschungsarchiv des Politecnico di Milano. Quelle öffnen
15. Musée du Louvre, Léonard de Vinci 1452–1519, Einträge zu Codex Atlanticus Blättern 389r und 428r. Quelle öffnen

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