par Tom Gurney
Tom Gurney BSc (Hons) est spécialiste de l’histoire de l’art depuis plus de 20 ans
Page créée le 22 septembre 2026 / Mise à jour le 22 septembre 2026
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Léonard et les mathématiques
Léonard de Vinci n’a pas découvert les mathématiques comme une discipline unique et achevée. Elles sont entrées dans son travail par plusieurs voies : l’arithmétique d’une ville commerçante, les procédés de mesure de l’atelier d’un peintre, la géométrie de la perspective, les rapports des mécanismes et des bâtiments, puis les textes savants qu’il rechercha avec une détermination croissante. Dans ses carnets, les mathématiques apparaissent donc moins comme un ensemble de réponses établies que comme un moyen de rendre visibles les relations. Une ligne mesure une distance, mais peut aussi tracer une force. Un carré peut définir une aire, organiser un plan ou devenir une étape d’une transformation. Un diagramme peut vérifier l’ajustement des pièces avant que l’on coupe le bois, la pierre ou le métal.
Cette évolution compte parce que deux descriptions courantes la déforment en sens opposés. Léonard n’était ni un génie sans formation qui aurait créé les mathématiques par intuition, ni un mathématicien moderne né plusieurs siècles trop tôt. Il partit de savoirs pratiques en langue vernaculaire et les élargit grâce aux livres, aux conversations, au dessin et à des essais répétés. Sa collaboration avec le mathématicien Luca Pacioli donna une nouvelle ampleur à cet effort. Pourtant, sa pensée mathématique la plus forte resta visuelle et opératoire. Il saisissait souvent une relation spatiale par le dessin mieux qu’il ne pouvait la démontrer dans le langage formel de ses contemporains savants [1] [2].
En bref
- SujetLéonard et les mathématiques
- Artiste et contexteLéonard de Vinci (1452–1519) et la Renaissance
- ImageRhombicuboctaèdre ajouré conçu par Léonard pour *De divina proportione*
Sommaire
- Apprendre les nombres dans une ville commerçante
- La géométrie avant Pacioli
- Luca Pacioli à Milan
- Dessiner les solides pour les rendre intelligibles
- Ce que signifiait la « divine proportion »
- Nombres, mesures et diagrammes de travail
- Une « manie » tardive des transformations
- Démonstration, erreur et intelligence visuelle
Apprendre les nombres dans une ville commerçante
Léonard naquit en 1452 hors du mariage dans une famille de notaires. Cette situation lui fermait le parcours universitaire classique, qui supposait une longue formation en latin, mais ne le tenait pas à l’écart de l’enseignement. Florence possédait une culture dense d’instruction en langue vernaculaire. Ses écoles d’abaque enseignaient l’arithmétique nécessaire aux marchands et aux artisans : opérations sur les entiers et les fractions, monnaies et changes, poids et mesures, associations, intérêts et problèmes pratiques de géométrie. Le Museo Galileo rattache le jeune Léonard à cet environnement et à une formation à l’abaque adaptée au petit-fils d’un marchand [1].
Il faut distinguer cette formation du savoir universitaire. Les mathématiques de l’abaque n’étaient pas « élémentaires » au sens moderne de triviales. Le commerce florentin exigeait des calculs entre monnaies et unités de mesure incompatibles ; la construction, le partage des terres et la fabrication réclamaient des mesures fiables. Les problèmes prenaient souvent la forme de situations concrètes résolues par des exemples détaillés. Ces habitudes convenaient à Léonard. Ses pages ultérieures passent souvent d’un cas précis à ses variantes et mettent une procédure à l’épreuve en modifiant dimensions, charges ou formes.
Son apprentissage dans l’atelier d’Andrea del Verrocchio ajouta une autre culture mathématique. Un peintre devait agrandir un projet, établir une profondeur convaincante, reporter des contours, calculer les matériaux et organiser les figures sur une surface. Un sculpteur ou un artisan du métal travaillait avec l’échelle, le volume, les moules, le poids et l’équilibre. Ces opérations étaient rarement séparées de la fabrication. La géométrie se trouvait dans la règle, le compas, le fil à plomb, le quadrillage et le report proportionnel, aussi bien que dans les livres.
Léonard se qualifia plus tard d’omo sanza lettere, « homme sans lettres ». La formule est souvent transformée à tort en image d’un homme presque illettré. À la Renaissance, les « lettres » qui lui manquaient étaient surtout les langues classiques et l’instruction donnant aux érudits un accès direct aux autorités latines. L’étude de sa bibliothèque par le Museo Galileo révèle une situation bien plus intéressante. Léonard rassemblait des livres, en extrayait des passages, demandait de l’aide pour le vocabulaire technique et confrontait les affirmations écrites à l’observation. À l’époque du Codex Leicester, il pouvait consulter un large éventail de pensées antiques, médiévales et contemporaines. Ce qu’il n’acquit jamais pleinement, c’était l’aisance en latin et la formation institutionnelle d’un philosophe de la nature universitaire [2].
Cette position créait à la fois une difficulté et une liberté. Léonard ne pouvait pas entrer simplement dans chaque débat savant selon les termes établis. Il devait traduire, reformuler et reconstruire. Il avait en même temps l’habitude de demander à quoi ressemblerait une proposition, comment la réaliser et si elle correspondait à l’expérience. Sa formation mathématique fut cumulative plutôt que miraculeuse : d’abord l’arithmétique pratique, puis des rencontres de plus en plus ambitieuses avec la géométrie, la proportion et la démonstration.
La géométrie avant Pacioli
Quand Léonard s’installa à Milan au début des années 1480, la géométrie servait déjà plusieurs aspects de son travail. La perspective linéaire traitait la surface peinte comme une section d’une pyramide visuelle. L’agrandissement proportionnel reliait une petite esquisse à un mur, un panneau ou un modèle sculpté. L’ingénierie exigeait de comparer roues, leviers, cordes et charges. L’arpentage convertissait distances et directions en plans. L’architecture demandait de coordonner plan, élévation et coupe.
Les carnets montrent Léonard employer différents types de projection selon la question posée. Un plan montre la disposition sans être masqué par les murs ; une coupe dévoile ce que cache une surface ; une vue axonométrique garde lisibles les parallélismes tout en suggérant les trois dimensions. Les vues en coupe et transparentes permettent de suivre le mouvement à l’intérieur d’une machine. Le Museo Nazionale Scienza e Tecnologia souligne que le dessin était pour Léonard à la fois moyen d’étude et de communication. La représentation mathématique n’enregistrait pas simplement une idée déjà formée ailleurs. Elle contribuait à la produire en obligeant les éléments à entretenir des relations spatiales cohérentes [3].
Milan intensifia cette recherche. La cour de Ludovic Sforza réunissait artistes, ingénieurs, médecins et conseillers savants. Léonard travailla à l’architecture, aux fêtes, à des projets hydrauliques et à l’immense monument équestre de Francesco Sforza. Chaque projet posait des questions d’échelle et de transformation. Une petite maquette devait devenir un objet colossal ; une force appliquée en un point avait des effets ailleurs ; un édifice à plan centré devait conserver son ordre à travers la répétition d’unités géométriques.
Pourtant, cette pratique précoce de la géométrie ne faisait pas de Léonard un mathématicien pleinement à l’aise avec la discipline formelle. Une construction convaincante sur un dessin pouvait encore manquer de démonstration. Il saisissait pratiquement similitude, rapport et aire sans en maîtriser toutes les bases euclidiennes. Son désir ultérieur de livres de mathématiques témoigne de cette lacune. En 1495, il nota l’achat de la grande Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità imprimée de Pacioli pour 119 soldi. Publiée à Venise l’année précédente, la Summa rassemblait arithmétique, algèbre, pratique commerciale et géométrie dans la tradition italienne de l’abaque. Cet achat donne une date solide à l’engagement volontaire de Léonard avec un traité mathématique majeur avant sa collaboration attestée avec son auteur [4].
La Summa empêche aussi d’opposer artificiellement un Léonard « pratique » à un autre « théorique ». Son long développement sur l’arithmétique et le calcul commercial voisinait avec la géométrie et la proportion. Dans la culture dont Pacioli et Léonard étaient issus, une règle pouvait passer d’un calcul de marchand à un arpentage ou à une proposition géométrique. Les carnets de Léonard mêlent eux aussi colonnes de chiffres, problèmes rédigés, esquisses et constructions. Il n’abandonna pas les mathématiques pratiques en se tournant vers Euclide. Il chercha à donner des bases plus solides aux opérations qu’il utilisait déjà et à les étendre à des problèmes que l’expérience d’atelier ne suffisait pas à résoudre.
La proportion convenait particulièrement à ce passage. Elle ne désignait pas une forme agréable unique ni un nombre privilégié. Elle décrivait un rapport entre grandeurs : une longueur comparée à une autre, une petite maquette à un grand objet, les dents d’une roue à celles de la suivante. Dans l’art, elle pouvait organiser corps et bâtiments ; dans la mécanique, exprimer un gain de distance ou de force obtenu par un dispositif. L’apprentissage d’un langage plus formel des rapports permit à Léonard de reconnaître des structures communes entre des métiers par ailleurs différents.
Luca Pacioli à Milan
Luca Pacioli arriva à Milan en 1496 et donna des cours aux Scuole Palatine sous le patronage des Sforza. Ce frère franciscain formé à la tradition de l’abaque pouvait passer du calcul commercial à la géométrie euclidienne et aux discussions de cour. Léonard apportait d’autres ressources : une imagination spatiale exceptionnelle, la maîtrise de la perspective et la capacité de rendre intelligibles des structures complexes par l’image. Leur relation fut un échange entre deux praticiens expérimentés, et non une simple leçon dans laquelle un érudit aurait transmis la vérité mathématique à un artiste ignorant [5].
Les carnets conservent des traces des études de Léonard. Il copia des définitions et des schémas de proportions et se rappela d’apprendre des opérations mathématiques auprès de « maestro Luca ». Pacioli, de son côté, reconnut Léonard comme auteur des figures de son traité De divina proportione. Cette collaboration coïncida avec un net élargissement du vocabulaire et des ambitions mathématiques de Léonard. Il s’intéressa davantage au statut des démonstrations, au classement des corps et à la possibilité que la géométrie apporte de la certitude à l’étude de la nature et de l’art [4] [6].
Pacioli acheva De divina proportione à Milan en 1498. Deux copies manuscrites réalisées de son vivant sont conservées. Le manuscrit de présentation aujourd’hui à la Bibliothèque de Genève, Ms. l.e. 210, fut préparé pour Ludovic Sforza. Le texte est suivi de soixante représentations de polyèdres, montrés sous formes pleines et ouvertes et associés aux projets de Léonard. Les feuillets de parchemin, l’écriture soignée et la dédicace situent cette collaboration géométrique dans la culture politique de la cour milanaise aussi bien que dans l’histoire des mathématiques [7].
Le partenariat ne s’acheva pas simplement avec un livre terminé. Lorsque les troupes françaises chassèrent Ludovic de Milan en 1499, Pacioli et Léonard quittèrent la ville. Ils se déplacèrent dans des milieux qui se recoupaient, et leur lien intellectuel se poursuivit. La Divina proportione parut à Venise en 1509, imprimée par Paganinus de Paganinis. Le Metropolitan Museum of Art répertorie les illustrations imprimées comme « d’après Léonard de Vinci ». Cette formulation protège une distinction importante : Léonard fournit les projets des figures géométriques, mais les gravures sur bois imprimées conservées résultent d’une transposition dans un autre médium ; ce ne sont pas des feuilles dessinées et gravées de sa main [8].
Le même imprimeur vénitien publia en 1509 l’édition latine révisée des Éléments d’Euclide par Pacioli. La préface reconnaît la contribution de Léonard à l’interprétation du texte, signe que leur échange mathématique se prolongea au-delà des polyèdres préparés à Milan et jusque dans leurs contacts florentins ultérieurs [13]. Pacioli aidait Léonard à aborder Euclide par des explications en langue vernaculaire ; les questions et démonstrations spatiales de Léonard pouvaient à leur tour mettre les propositions à l’épreuve. La collaboration dura davantage qu’une seule commande d’illustrations.
La date de publication peut autrement créer une fausse chronologie. Les projets de Léonard appartiennent au travail manuscrit achevé en 1498, tandis que les gravures sur bois et l’édition d’Euclide parurent onze ans plus tard. Entre-temps, les deux collaborateurs traversèrent des bouleversements politiques et plusieurs villes. Les livres conservent le résultat d’un échange dont les séances de travail, les dessins et les explications ne sont que partiellement connus.
Dessiner les solides pour les rendre intelligibles
Les polyèdres constituent le résultat le plus clair de la collaboration, car leur contenu intellectuel dépend de leur mode de représentation. Une vue conventionnelle d’un solide montre les faces tournées vers l’observateur et cache celles de l’arrière. Cela peut suffire à reconnaître un cube, mais devient un obstacle avec un corps aux nombreuses faces et relations croisées. Les versions ouvertes, dites vacuo, de Léonard transforment les arêtes en armature. Les arêtes arrière restent visibles à travers les vides. Le spectateur peut examiner toute l’organisation au lieu de deviner une moitié cachée.
Les formes pleines et ouvertes mises en paire répondent à des questions différentes. Le corps plein montre les plans continus et la masse d’ensemble. Son pendant squelettique révèle les connexions, les symétries et les chemins par lesquels les faces se rencontrent. Certaines figures sont « élevées » : des ajouts pyramidaux sortent de leurs faces et multiplient les difficultés spatiales. La perspective donne de la profondeur à ces corps, mais l’image doit aussi conserver assez de régularité pour que l’objet géométrique reste lisible [3] [7].
Léonard n’inventa pas les solides réguliers ni semi-réguliers. Leur étude relevait d’une longue tradition allant d’Euclide à d’autres auteurs antiques, et Pacioli emprunta largement à des mathématiques antérieures, notamment aux travaux de Piero della Francesca. La réussite de Léonard fut dans la représentation. Il transforma des descriptions verbales et géométriques en images permettant au lecteur de saisir une structure. Les polyèdres ouverts fonctionnent presque comme des arguments visuels : ils dévoilent des informations qu’un objet opaque cacherait.
Il faut préciser le rôle de Piero. La Divina proportione imprimée n’est pas un traité continu consacré à un seul rapport. Elle associe l’exposé de Pacioli sur la divine proportion à un traité d’architecture et à une version italienne du Libellus de quinque corporibus regularibus de Piero, étude des cinq solides réguliers et de formes qui en dérivent [14]. Vasari accusa plus tard Pacioli de s’approprier le travail de Piero ; la portée et l’éthique de cet emprunt restent discutées par les chercheurs. Pour les mathématiques de Léonard, la conclusion la plus sûre est structurelle : les célèbres images appartiennent à un héritage textuel stratifié, non au seul dialogue entre deux hommes. Les travaux stéréométriques de Piero, les définitions d’Euclide, la compilation de Pacioli et la visualisation de Léonard se rejoignent dans le volume conservé.
C’est l’une des raisons pour lesquelles ces illustrations doivent être au centre des mathématiques de Léonard plutôt qu’à leur marge, comme des ornements. Leur beauté naît de l’exactitude, du choix et de la lisibilité. Une image réussie doit décider quelles lignes restent visibles, comment les arêtes se croisent, comment la profondeur est indiquée et comment l’objet occupe la page. Le corps mathématique et son explication graphique deviennent inséparables.
Les dessins montrent aussi un principe plus général de l’œuvre de Léonard. Il enlève régulièrement une surface extérieure pour exposer les causes : la peau s’ouvre pour révéler l’anatomie, la terre est coupée pour montrer le cours des eaux, les murs disparaissent pour dévoiler les pièces, et les carters des machines deviennent transparents pour que les engrenages puissent être suivis. Les armatures polyédriques sont un exemple particulièrement rigoureux de ce regard investigateur. Connaître une forme, c’est voir comment ses parties se relient, y compris celles normalement cachées.
Leur production demandait en outre de traduire un type de savoir dans un autre. Une définition géométrique fixe des relations vraies quel que soit le point de vue ; une image en perspective montre une apparence depuis une position déterminée. Léonard devait préserver la première tout en construisant la seconde. Trop de réalisme optique pouvait obscurcir la régularité ; un diagramme plat pouvait manquer de rendre le volume. Les images obtenues négocient entre démonstration, modèle et représentation. Elles ne remplacent pas le texte de Pacioli, mais permettent au lecteur une rotation mentale et une comparaison que la seule prose rend laborieuses.
Le manuscrit de Genève renforce ce dialogue par son ordre. Soixante corps pleins ou vides suivent le traité écrit, constituant un ensemble d’images que l’on peut consulter à propos de diverses propositions. Les dessins forment un vocabulaire visuel de la géométrie des solides. Leur influence tient en partie à cette dimension sérielle : ils ne montrent pas un seul objet virtuose, mais une méthode répétable appliquée à des corps de complexité croissante [7].
Ce que signifiait la « divine proportion »
Le titre Divina proportione a suscité des siècles d’associations vagues. La « divine proportion » de Pacioli était la division d’un segment en moyenne et extrême raison, connue bien plus tard comme le nombre d’or : le rapport du tout à la plus grande partie est égal à celui de la plus grande à la plus petite. Dans l’écriture moderne, ce rapport vaut environ 1,618 pour 1. Pacioli le jugeait mathématiquement remarquable et lui donnait des analogies théologiques. Son traité abordait aussi les solides réguliers, les relations proportionnelles et leurs applications à l’art et à l’architecture [5] [7].
Cet intérêt attesté ne prouve pas que Léonard organisa chaque tableau important autour du même nombre. Illustrer un traité qui étudie un rapport et employer ce rapport comme modèle universel caché sont deux choses très différentes. Pour soutenir une affirmation sur une peinture, il faudrait établir que les points pertinents ont été choisis à l’avance, que les mesures sont stables et qu’un autre système proportionnel plus simple ne correspond pas tout aussi bien. On peut souvent sélectionner après coup des rectangles arbitraires dans une reproduction, surtout lorsque cadrage et dimensions de l’image varient.
Les historiens des mathématiques ont montré combien les récits sur le nombre d’or reposent fréquemment sur des mesures rétrospectives plutôt que sur des documents ou des constructions démontrables. Léonard et Pacioli connaissaient assurément le rapport de moyenne et extrême raison. Cela rend possibles des usages particuliers étayés par des preuves ; cela ne rend pas « dorée » toute proportion séduisante. Pacioli n’inventa pas non plus la relation, dont l’histoire géométrique était beaucoup plus ancienne. L’expression « divine proportion » relève de sa présentation philosophique et religieuse [9].
La même prudence s’impose à propos des études du corps par Léonard. L’Homme de Vitruve étudie la commensurabilité : un corps humain occupe des positions superposées dans un cercle et un carré, tandis que des notes comparent les parties du corps au tout. Les Gallerie dell’Accademia soulignent que ses proportions ne sont pas la simple transcription mécanique de Vitruve et que la recherche de Léonard dialogue aussi avec des travaux de la Renaissance comme le De statua de Leon Battista Alberti. Le dessin associe interprétation d’un texte, observation et construction géométrique [10].
Il ne s’agit pourtant pas d’un diagramme explicitement consacré au nombre d’or. Les mesures publiées qui cherchent phi entre certaines distances ne l’emportent pas sur les rapports réellement notés par Léonard ni sur le problème vitruvien et albertien qu’il étudiait. La force intellectuelle du dessin est ailleurs : il teste si les figures géométriques idéales et le corps humain variable et articulé peuvent former un système cohérent. Les deux centres du cercle et du carré ne coïncident pas simplement, et le changement de position des membres est essentiel. Léonard rend la proportion dynamique.
Nombres, mesures et diagrammes de travail
Les carnets de la maturité ne séparent pas les mathématiques de la pratique. Ils emploient les relations géométriques pour analyser machines, bâtiments, paysages et corps. Les mêmes habitudes reviennent : décomposer une action complexe en étapes, représenter des relations invisibles, comparer des variantes et mesurer les conséquences d’un changement.
En mécanique, roue, essieu, poulie ou levier transforment un mouvement ou une force en un autre. La géométrie fixe les distances entre pivots, le diamètre des roues et la direction de la traction. Un rapport lie le mouvement de la pièce motrice à celui de la pièce entraînée. Léonard avait parfois du mal à distinguer les relations mécaniques idéales des pertes dues au frottement, à la déformation ou à l’imperfection des matériaux, mais ses diagrammes cherchent à rendre vérifiable la chaîne causale. Flèches, positions successives et assemblages transparents décomposent le mouvement en une séquence sur laquelle on peut raisonner [3].
Les questions d’équilibre menaient naturellement au centre de gravité. Si une charge se déplace, ou si le point d’appui change, la stabilité de l’objet varie. Ces préoccupations reliaient la géométrie théorique aux grues, aux armes, aux ponts, au mouvement humain et au projet de fonte d’un cheval monumental. Léonard plaçait souvent plusieurs cas côte à côte sur une page pour rendre la différence visible. La feuille devient un terrain d’essai où l’on peut modifier une variable sans construire une machine grandeur nature.
L’architecture demandait des opérations voisines. Les plans organisent les espaces par des axes, des rotations et des modules répétés. Les élévations règlent les proportions verticales ; les coupes exposent épaisseur, soutien et circulation. Dans ses études d’églises à plan centré, Léonard combina carrés, cercles, octogones et chapelles secondaires en configurations de plus en plus complexes. Ces projets seront étudiés plus largement dans leur propre contexte, mais montrent ici la géométrie au service de l’invention. Une figure de base n’est pas simplement copiée : elle est subdivisée, tournée, agrandie et combinée pour former une famille de plans possibles.
Arpentage et cartographie convertissaient le terrain parcouru en données mesurées. Direction, distance et échelle devaient être reportées sur une surface. La célèbre carte d’Imola de Léonard sera examinée séparément, mais sa réussite repose sur cette discipline mathématique : la ville y est ordonnée en vue aérienne cohérente plutôt que selon la succession des repères d’un voyageur. De même, les projets hydrauliques exigeaient pentes, niveaux, coupes et estimations des débits. Le dessin mathématique rendait simultanément accessibles à la pensée les parties éloignées d’un système.
La perspective formait un autre pont entre art et mesure. Léonard hérita d’une puissante théorie du XVe siècle ; il ne l’inventa pas. Il en étendit l’usage pratique par une attention intense aux effets visuels : taille apparente, diminution, perte de netteté et de couleur avec la distance, réflexion et géométrie de la lumière. Tous ces phénomènes ne se réduisent pas à la perspective linéaire. Son mérite fut de voir que la vérité picturale exigeait plusieurs sortes de relations en interaction. La géométrie fournissait une base ordonnée ; l’observation révélait où un schéma simple ne suffisait pas.
Cette approche explique pourquoi les nombres des carnets peuvent être indispensables et instables à la fois. Léonard calculait, dressait des tableaux et annotait, mais revenait aussi sur ses résultats. Les unités pouvaient changer ; un résultat recopié pouvait contenir une erreur ; une intuition géométrique pouvait dépasser sa démonstration. Les carnets enregistrent une recherche en cours, non un manuel achevé. Leur valeur tient en partie à cette pensée exposée : calcul, dessin et explication verbale se corrigent et se stimulent mutuellement.
Une « manie » tardive des transformations
Dans les dernières années de sa vie, Léonard consacra une énergie extraordinaire à une famille restreinte de problèmes géométriques : transformer une figure plane en une autre de même aire. Des formes à côtés droits devenaient curvilignes et inversement. Cercles, demi-cercles, rectangles, triangles et lunules en forme de croissant étaient découpés et recombinés en longues séries. Cette recherche puisait dans les problèmes antiques de quadrature, notamment les lunules associées à Hippocrate de Chios, mais Léonard la poursuivit par d’abondantes permutations visuelles propres à sa méthode [11].
La quadrature faisait partie d’une famille plus large de problèmes classiques de construction. Vers 1505, Léonard tenta aussi de dupliquer le cube — construire un cube d’un volume double de celui d’un cube donné — et expérimenta des constructions géométriques pour les racines carrées. Une présentation de recherche du Louvre signale le Codex Atlanticus 428r comme une feuille où il essaya de transposer le théorème de Pythagore des aires aux volumes [15]. Même lorsqu’elle échoue, la tentative est révélatrice : une relation valable entre carrés ne peut pas être élevée simplement à un analogue tridimensionnel sans nouvelle démonstration. Léonard vérifiait sans cesse si une opération visiblement efficace dans un domaine survivrait à son passage dans un autre.
Le folio 455r du Codex Atlanticus, daté d’environ 1514–1515, est la feuille conservée la plus spectaculaire. Il faut prendre garde à sa foliotation actuelle : l’URL du catalogue Leonardo//thek@ contient l’identifiant ATL.0909.1, parfois pris à tort pour un folio 909. La notice elle-même identifie la feuille comme 455r, anciennement Hoepli 167r-a/b et portant les anciens numéros 149–150. Léonard y disposa environ 177 constructions — les décomptes spécialisés diffèrent d’une unité selon le découpage des groupes —, la plupart fondées sur des cercles et des demi-cercles [11] [12].
Les hachures signalent les parties à enlever, conserver ou déplacer. Une courbe devient l’élément d’une nouvelle figure ; les subdivisions répétées établissent des aires égales ; de petites modifications génèrent un autre cas. La page dense est systématique sans être une démonstration conventionnelle. Son rythme visuel a suscité l’expression mania geometrica : une obsession géométrique dans laquelle travail analytique et ordre esthétique sont difficiles à séparer [12].
Il ne s’agissait pas seulement de produire des motifs décoratifs. Léonard cherchait des méthodes générales pour convertir des aires courbes en aires à côtés droits tout en conservant leur quantité. Il imagina un ouvrage appelé De ludo geometrico, « jeu géométrique » ou divertissement, et associa le folio 272v du Codex Atlanticus à d’innombrables variétés de quadratures de surfaces courbes. Le titre reconnaît le plaisir du jeu, mais les diagrammes répétés recherchent aussi la maîtrise : en classant suffisamment de transformations, peut-être pourrait-on réduire une forme continue difficile à des aires rectilignes connues [11].
Cette démarche rapprocha Léonard de l’antique problème de la quadrature du cercle : construire, par les moyens géométriques prescrits, un carré exactement égal en aire à un cercle donné. Il ne le résolut pas. L’impossibilité de la construction classique à la règle et au compas ne fut démontrée qu’au XIXe siècle, après l’établissement de la transcendance de pi. Léonard ne pouvait connaître cette preuve, mais ses constructions particulières devaient tout de même satisfaire aux critères disponibles à son époque. Une équivalence visuelle ou une méthode approximative n’était pas une démonstration exacte.
Sa persévérance révèle néanmoins une identité mathématique mûre. Les feuilles tardives ne sont pas des calculs accessoires au service d’un tableau ou d’une machine. Elles explorent durablement les grandeurs géométriques pour elles-mêmes et pour la promesse intellectuelle des transformations. Léonard traite la géométrie comme un mouvement : les figures se déploient, se déplacent et se recomposent tandis que l’aire reste constante. Cette manière de penser prolonge ses diagrammes d’ingénierie et d’anatomie, même lorsque le sujet immédiat est abstrait.
Démonstration, erreur et intelligence visuelle
Léonard associait souvent la certitude aux mathématiques. Pour un chercheur insatisfait de l’autorité héritée, la démonstration géométrique offrait un idéal : une conclusion imposée par des relations que l’on pouvait montrer. Mais sa propre route vers cet idéal fut inégale. Il n’eut pas accès tôt à une grande partie des textes savants latins, aborda relativement tard les sujets avancés et ne distinguait pas toujours un diagramme convaincant d’une preuve complète. Ses manuscrits contiennent des faux départs et des erreurs à côté d’intuitions saisissantes [2] [6].
Nommer ces limites ne diminue pas son travail. Cela situe Léonard dans les mondes mathématiques qu’il habita réellement. Formé comme artiste et ingénieur en atelier, il accéda à la géométrie savante par des livres en langue vernaculaire, la collaboration et l’étude personnelle. Pacioli lui ouvrit un langage plus formel des proportions et des corps euclidiens. Léonard donna aux idées géométriques une forme visible exceptionnelle. Chacun apporta ce que l’autre ne pouvait offrir de la même manière.
« Visuel » ne veut pas non plus dire vague ou simplement intuitif. Les meilleurs diagrammes de Léonard choisissent leur point de vue, retirent les obstacles et coordonnent plusieurs états avec une grande précision. Les polyèdres ouverts dévoilent les arêtes cachées. Les dessins mécaniques montrent la transmission du mouvement dans un assemblage. Plans et coupes maintiennent les relations spatiales pour les comparer. Les feuilles de transformation préservent l’aire pendant que la forme change. Le dessin devient un instrument pour isoler un problème et le partager avec une autre pensée.
Ses mathématiques se comprennent donc surtout comme une pratique consistant à voir les relations. La proportion unit partie et tout ; la perspective relie objet, distance et observateur ; la mécanique relie force, mouvement et temps ; la cartographie relie terrain et échelle ; la quadrature relie des formes différentes par une aire égale. Les sujets varient, mais le geste intellectuel est voisin. Léonard cherche une relation invariante sous les changements visibles.
Cette recherche ne produisit jamais un traité mathématique unifié. Les projets restèrent inachevés, le vocabulaire fluctua et les démonstrations s’arrêtèrent souvent avant d’atteindre les normes savantes de son temps. Les carnets résistent à la fiction rétrospective d’une discipline moderne entièrement formée dans un esprit exceptionnel. Ils offrent une histoire plus riche : celle d’un artiste-ingénieur apprenant à faire des mathématiques un outil central de l’enquête, empruntant aux traditions établies tout en modifiant la façon dont le savoir géométrique pouvait être vu.
La collaboration avec Pacioli est au centre de cette histoire, mais ni à son début ni à sa fin. Le calcul pratique et la géométrie d’atelier préparèrent Léonard à reconnaître la valeur des mathématiques formelles. Les polyèdres montrèrent ce que son intelligence graphique pouvait leur apporter. Les transformations tardives révèlent à quel point les problèmes géométriques pouvaient l’absorber lorsque les commandes immédiates s’éloignaient. Entre ces étapes, les mathématiques devinrent l’un de ses principaux moyens de relier art, machines, bâtiments, corps et nature.
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Références
- Museo Galileo, « A scuola d’abaco », La Biblioteca di Leonardo. Voir la source
- Museo Galileo, « Omo sanza lettere ? », Leonardo e i suoi libri: la biblioteca del genio universale. Voir la source
- Museo Nazionale Scienza e Tecnologia Leonardo da Vinci, guide des Gallerie Leonardo. Voir la source
- Institut Max-Planck d’histoire des sciences, Leonardo’s Intellectual Cosmos, notice sur la Summa de arithmetica de Luca Pacioli. Voir la source
- Treccani, « Luca Pacioli », Il Contributo italiano alla storia del Pensiero – Scienze. Voir la source
- Stephen R. Wassell, « Léonard de Vinci et Luca Pacioli : une collaboration entre art et mathématiques », British Society for the History of Mathematics Bulletin. Voir la source
- Bibliothèque de Genève, Ms. l.e. 210, Luca Pacioli, De divina proportione. Voir la source
- Metropolitan Museum of Art, Luca Pacioli, Divina proportione, 1509, numéro d’acquisition 19.50. Voir la source
- Farhad B. Naini, « Le nombre d’or : dissiper le mythe », Maxillofacial Plastic and Reconstructive Surgery 46 (2024), article 2. Voir la source
- Gallerie dell’Accademia de Venise, « Studio di proporzioni del corpo, noto come Uomo vitruviano », catalogue 228. Voir la source
- Museo Galileo, Leonardo//thek@, Codex Atlanticus folio 455r, identifiant de catalogue ATL.0909.1. Voir la source
- Francesca Borgo, « Mania geometrica : les expériences visuelles de Léonard sur la forme et la transformation », dépôt de recherche de l’Université de St Andrews. Voir la source
- Museo Galileo, « The Partnership with Luca Pacioli », Leonardo’s Library. Voir la source
- Paola Magnaghi-Delfino et Tullia Norando, « Luca Pacioli : lettres de Venise », archives de recherche du Politecnico di Milano. Voir la source
- Musée du Louvre, Léonard de Vinci 1452–1519, notices des folios 389r et 428r du Codex Atlanticus. Voir la source
